選擇題

1、設(shè)函數(shù) f(x) = sin x 與 g(x) = cos x 在區(qū)間 [-π/2, π/2] 上的交點(diǎn)個數(shù)為 _______．

答案：至少一個交點(diǎn)，由于兩函數(shù)在交點(diǎn)處斜率不同，故交點(diǎn)唯一，因此答案為 1。

2、設(shè)集合 A = {x | x = π/n 且 n ∈ N*}，則集合 A 中元素個數(shù)為 _______．

答案：無窮多個，因?yàn)楫?dāng) n 取正整數(shù)時，π/n 的值會無限趨近于零但永遠(yuǎn)不等于零，因此集合 A 中元素個數(shù)為無窮多個。

填空題

1、若函數(shù) f(x) = sin x + ax 在區(qū)間 [π/4, π/2] 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _______．

答案：a ≤ -√2 或 a ≥ 0，由于函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求解得到 a 的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到答案。

解答題

1、設(shè)函數(shù) f(x) = sin^2 x + ax 在區(qū)間 [-π/2, π/2] 上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，并證明你的結(jié)論。

答案：首先求導(dǎo)數(shù) f'(x) = 2sinxcosx + a，由于函數(shù)在指定區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上要么恒大于等于零，要么恒小于等于零，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到 a 的取值范圍，然后通過證明導(dǎo)數(shù)在這個范圍內(nèi)滿足單調(diào)性條件來證明結(jié)論，具體證明過程略。

綜合題

已知函數(shù) f(x) = sin^2 x + 2sin xcos x + 3cos^2 x 在區(qū)間 [-π/4, π/4] 上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍并證明你的結(jié)論，同時分析函數(shù)圖像的對稱性，若函數(shù) g(x) 與 f(x) 關(guān)于直線 x = π/8 對稱，求 g(x) 在區(qū)間 [-π/8, π/8] 上的單調(diào)性，若存在實(shí)數(shù) t 滿足條件 f(t) = g(t)，請給出 t 的取值范圍，若存在實(shí)數(shù) t 滿足條件 f(t) = g(t)，請給出 t 的取值范圍并證明你的結(jié)論，若不存在請說明理由，已知條件改為 f(x) = sin^2 x + a*sin xcos x + b*cos^2 x 時，請重新分析討論上述問題，已知條件改為 f(x) = sin ωx + cos ωx 時，請重新分析討論上述問題。（本題共 30 分）

答案：本題涉及多個問題，需要逐一分析討論，首先分析函數(shù) f(x) 的單調(diào)性和對稱性，然后分析函數(shù) g(x) 的性質(zhì)和對稱性，接著討論 f(t) = g(t) 的解的存在性和取值范圍，最后根據(jù)題目給出的不同條件重新分析討論問題，具體解答過程略，主要涉及到導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性等知識點(diǎn)。